Ada kesalahan di dalam gadget ini

ayo kenapa ikan bisa berenang?

Senin, 15 Maret 2010

pengantar struktur aljabar

SIFAT-SIFAT SEDERHANA GRUP

A. Pendahuluan

Mahasiswa diharapkan sudah memahami pengertian grup beserta bukti formalnya, sehingga target pertemuan kedua ini dengan mudah dicerna olehnya. Target yang dimaksukd adalah :
a. dapat menyebutkan sifat-sifat sederhana grup
b. mampu membuktikan sifat-sifat tersebut
c. menggunakan sifat-sifat sederhana grup dalam menyelesaikan soal

B. Sifat-sifat Sederhana Grup
Teorema :
Jika (G,*) merupakan grup maka berlaku :
1. Ketunggalan elemen identitas
2. Ketunggalan elemen invers
3. Sifat kanselasi atau pelenyapan atau penghapusan : a, b, c  G berlaku
i. jika a * b = a * c maka b = c , disebut kanselasi kir
ii. jika a * c = b * c maka a = b, disebut kanselasi kanan
4. persamaan-persamaan a * x = b dan y * a = b mempunyai penyelesaian tunggal
5. a, b  G bersifat : i. (a-1)-1 = a dan ii. (a * b)-1 = b-1 * a-1


1. GRUP
Definisi 1.1 (Operasi Biner)
Diketahui G himpunan dan a,b∈G. Operasi biner ∗ pada G merupakan pengaitan
pasangan elemen (a,b) pada G , yang memenuhi dua kondisi berikut:
1. Setiap pasangan elemen (a,b) pada G dikaitkan dengan tepat satu elemen
2. Setiap elemen yang dikaitkan dengan pasangan elemen (a,b) pada G
merupakan elemen di G.
Kondisi 1 disebut juga dengan kondisi tertutup (closed), sedangkan kondisi 2 disebut juga
dengan kondisi terdefinisi dengan baik (well-defined). Untuk selanjutnya, jika G
merupakan himpunan, ∗ operasi pada G, dan a,b∈G, maka a∗b menyatakan elemen
yang dikaitkan dengan pasangan elemen (a,b) terhadap operasi ∗ .

Definisi 1.4 (Grup)
Diketahui G himpunan dan ∗ operasi biner ∗ pada G. Himpunan G disebut grup
terhadap operasi ∗ jika dan hanya jika memenuhi keempat aksioma berikut :
1. G bukan merupakan himpunan kosong
2. Untuk setiap a,b,c∈G berlaku (a∗b)∗c=a∗(b∗c)
3. Terdapat e∈G sehingga untuk setiap a∈G berlaku e ∗ a = a∗e = a
4. Untuk setiap a∈G terdapat a'∈G sehingga berlaku a∗a'=a'∗a=e.